Connecteurs logiques « et », « ou »

Définition

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions. La proposition « \(P\) et \(Q\) » est vraie lorsque les deux propositions \(P\) et \(Q\) sont vraies en même temps, et fausse sinon.

Exemples

• La proposition « \(2\) est un nombre pair et \(3\) est un nombre premier » est une proposition vraie, car les deux propositions « \(2\) est un nombre pair » et « \(3\) est un nombre premier » sont vraies.
  
• La proposition « \(2\) est un nombre pair et \(3\) est un nombre pair » est fausse, car la proposition « \(3\) est un nombre pair » est fausse.
  

Remarque

En français, le mot « et » a de nombreux sens. En mathématiques, le « et » veut dire que les deux conditions doivent être vraies en même temps.

Définition

Soit \(P\) et \(Q\) deux propositions. La proposition « \(P\) ou \(Q\) » est une proposition qui est vraie lorsque l'une au moins des propositions \(P\) ou \(Q\) est vraie.
Elle est fausse lorsque les deux propositions sont fausses en même temps.

Exemples

• La proposition « \(2\) est un nombre pair ou \(3\) est un nombre pair » est vraie, car la première proposition « \(2\) est un nombre pair » est vraie.
  
• La proposition « \(2\) est un nombre impair ou \(3\) est un nombre pair » est fausse, car les deux propositions « \(2\) est un nombre impair » et « \(3\) est un nombre pair » sont fausses.
  

Remarque

• En français, le mot « ou » a souvent un sens exclusif, c’est-à-dire un choix entre deux possibilités, mais pas les deux en même temps. Comme lorsque l'on dit « fromage ou dessert », on ne propose que l’un ou l’autre, pas les deux.
  
• En mathématiques, le mot « ou » est inclusif : cela signifie que l’une, l’autre, ou les deux possibilités peuvent être vraies. En langage courant, pour exprimer cela, on dit parfois : « et/ou ».
  

Exemple mathématique

Prenons la proposition suivante : « Un nombre est divisible par \(2\) ou par \(3\). » Cela signifie qu’il peut être divisible :

• par \(2\) ;
  
• ou par \(3\) ;
• ou par les deux.
  

Alors qu'en français, cela signifierait être divisible par un des deux seulement.